Pembuktian Sifat-Sifat Eksponen

Selamat siang, apa kabar? kebetulan disini lagi siang menjelang sore hari. Dan sebelumnya sudah saya posting tentang sifat-sifat eksponen yang terdiri dari pangkat positif, pangkat negatif, pangkat nol, dan juga pangkat pecahan. Sifat sifat tersebut ada karena berasal dari definisi eksponen.

Disini saya akan berikan beberapa sifat eksponen mulai dari yang pokok hingga sifat eksponen yang lain. Sebelum kita memulai melihat pembuktian sifat eksponen, mari kita panggil definisi eksponen itu sendiri yaitu: $$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}$$ Sekarang mari kita mulai membuktikan sifat eksponen pokok dari pertama

$$\begin{align}a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\end{align}$$ Gunakan definisi eksponen untuk $m$ dan $n$ lalu kalikan $$\begin{align*} a^{m}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m}\\ a^{n}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}\\ a^{m}\times a^{n}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m}\times \underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}\\ a^{m}\times a^{n}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m+n}\\ a^{m}\times a^{n}&=a^{m+n}\quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$$

$$\begin{align}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\end{align}$$ Gunakan definisi eksponen untuk $m$ dan $n$ lalu dibagi $$\begin{align*} a^{m}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{m}\\ a^{n}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}\\ \frac{a^{m}}{a^{n}}&=\frac{a\times \cdots \times a\rightarrow \text{m kali}}{a\times \cdots \times a\rightarrow \text{n kali}}\\ \frac{a^{m}}{a^{n}}&=\frac{\left(a\times \cdots \times a\rightarrow \text{n kali} \right )\left(a\times \cdots \times a\rightarrow \text{m-n kali} \right )}{a\times \cdots \times a\rightarrow \text{n kali}}\\ \frac{a^{m}}{a^{n}}&=\left(a\times \cdots \times a\rightarrow \text{m-n kali} \right )\\ \frac{a^{m}}{a^{n}}&=a^{m-n} \quad \textbf {(TERBUKTI)}\\ \end{align*}$$

$$\begin{align}\left(a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}\end{align}$$ Perkalian berulang $a^{m}$ sebanyak $n$ kali $$\begin{align*} \left(a^{m} \right )^{n}&=a^{m\times n}\\ \left(a^{m} \right )^{n}&=\underbrace {a^{m}\times \cdots \times a^{m}} _{n}\\ \left(a^{m} \right )^{n}&=a^{m+m+\cdots +m\; \rightarrow \; \text{sebanyak n kali}}\\ \end{align*}$$ Penjumlahan $m$ sebanyak $n$ kali adalah definisi perkalian $$\begin{align*} \left(a^{m} \right )^{n}&=a^{mn} \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$$

$$\begin{align}\left(ab \right )^{n}=a^{n}\times b^{n}\end{align}$$ Gunakan definisi eksponen untuk $ab$ dan $n$ $$\begin{align*} \left(ab \right )^{n}&=\underbrace {\left(ab \right ) \times \cdots \times \left(ab \right )} _{n}\\ \left(ab \right )^{n}&=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n} \times \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}\\ \left(ab \right )^{n}&=a^{n} b^{n} \quad \textbf {(TERBUKTI)}\\ \end{align*}$$

$$\begin{align}\left(\frac{a}{b} \right )^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\end{align}$$ Gunakan definisi eksponen untuk $a$ $b$ dengan eksponen $m$ $$\begin{align*} \left(\frac{a}{b} \right )^{m}&=\frac{a\times \cdots \times a\rightarrow \text{m kali}}{b\times \cdots \times b\rightarrow \text{m kali}}\\ \left(\frac{a}{b} \right )^{m}&=\frac{a^{m}}{b^{m}} \quad \textbf {(TERBUKTI)}\\ \end{align*}$$

Pembuktian sifat eksponen yang lain

$$\begin{align}a^{0}=1\end{align}$$ dengan $a\neq{0}$. Mengapa $a$ tidak boleh sama dengan 0? Karena jika $a=0$ hasilnya adalah bilangan tak tentu. Kenapa bisa tak tentu? Lebih jauh lagi dipelajari di materi limit.  Khusus untuk pangkat nol kita gunakan sifat eksponen di atas nomor 2 $$\frac{a^n}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}=1 \quad \textbf {(TERBUKTI)}$$

$$\begin{align} a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\end{align}$$ Kita bisa gunakan juga sifat nomor 2
$$\begin{align*} a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^{0}}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n}}\\ \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$$

SHARE TO YOUR FRIENDS