Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

Trigonometri adalah ilmu yang terdiri dari dua kata yaitu trigono dan metri. Trigonon artinya tiga sudut dan metron yang berarti mengukur, Jadi trigonometri dapat diartikan sebagai ilmu yang mempelajari pengukuran tiga sudut. Bangun apa yang mempunyai tiga sudut? Tentu saja segitiga. Trigonometri banyak sekali berguna dalam bidang apapun mulai dari bidang eksakta seperti matematika, ilmu pengetahuan alam, ataupun bidang lainnya. Di dalam trigonometri banyak sekali rumus rumus yang terkadang membuat kita bingung tapi sebenarnya rumus itu bisa diturunkan jika anda bisa menurunkannya. Jadi sebaiknya jika anda bisa memahami dan menurunkan rumus lebih baik tidak menghapal semua rumus yang ada, otak anda akan terbebani dan lebih ringan jika bisa membuktikan.

Pada kesempatan kali ini diantara banyaknya rumus trigonometri yang ada salah satunya adalah rumus jumlah dan selisih sudut. Rumus jumlah dan selisih sudut ini sangat berguna dalam matematika dan fisika. Sehingga anda wajib untuk mengetahuinya dan bisa menggunakannya. Pendekatan yang dilakukan dalam pembuktian ini adalah memakai geometri yaitu memakai dua bangun segitiga siku-siku. Mari anda perhatikan dua segitiga siku-siku besar yaitu $\Delta{ABC}$ dan $\Delta{ACD}$ disitu anda melihat segitiga $ABC$ memiliki siku-siku di B dan segitiga $ACD$ memiliki siku-siku di $C$. 

Anda lihat di gambar terdapat sudut $x$ di sudut $BAC$ dan sudut $y$ di sudut $CAD$. Dari dua segitiga besar di bawah kita membuat garis $DF$ dan juga $CE$ karena kita ingin mencari trigonometri dari gabungan sudut $x+y$ di atas, makanya dibuat sisi yang langsung berhadapan dengan mereka. Lalu kemudian anda lihat dan perhatikan segitiga $CDE$, disitu terdapat sudut yang nilainya sama dengan sudut $BAC$ yaitu $x$. Mengapa bisa demikian? Coba kita analisa mengapa sudut ini bisa sama. Ini bisa dijelaskan sederhana dengan anda bayangkan dan pikirkan bagaimana kalau sudut $x$ di $\angle{BAC}$ saya perbesar dengan mempertahankan sudut $y$ tetap, maka pasti di $\angle{CDE}$ juga ikut semakin besar. Bagaimana jika $x=0^{\circ}$, tentu saja $\angle{CDE}$ juga ikut menjadi nol derajat. 

Sinus

Definisi sinus adalah perbandingan sisi depan sudut terhadap sisi miringnya.

$$\begin{align*} \sin{\left(x+y\right)}&=\frac{DF}{AD}\\ \sin{\left(x+y\right)}&=\frac{DE+EF}{AD}=\frac{DE+BC}{AD}\\ \end{align*}$$

Coba anda lihat lagi gambarnya, anda harus nyatakan semua panjang dalam trigonometri. Tulislah trigonometri sudut $x$ dan sudut $y$ dan carilah hubungan dengan persamaan terakhir

$$\begin{align*} \text{untuk sisi DE}\\ \cos\left ( x \right )&=\frac{DE}{DC} \;;\;\sin\left ( y \right )=\frac{DC}{AD}\\ DE&=DC\cdot\cos\left ( x \right )\\ DE&=AD\cdot\sin\left ( y \right )\cdot\cos\left ( x \right )\\ \text{untuk sisi BC}\\ \sin\left ( x \right )&=\frac{BC}{AC} \;;\;\cos\left ( y \right )=\frac{AC}{AD}\\ BC&=AC\cdot\sin\left ( x \right )\\ BC&=AD\cdot\cos\left ( y \right )\cdot\sin\left ( x \right ) \end{align*}$$  

Substitusi ke dalam $\sin{\left(x+y\right)}$ 

$$\begin{align*} \sin{\left(x+y\right)}&=\frac{DE+BC}{AD}\\ \sin{\left(x+y\right)}&=\frac{AD\cdot\sin\left ( y \right )\cdot\cos\left ( x \right )+AD\cdot\cos\left ( y \right )\cdot\sin\left ( x \right ) }{AD}\\ \sin{\left(x+y\right)}&=\cos\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right )+\sin\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )\end{align*}$$  

TANTANGAN, Buktikan!  $$\sin{\left(x-y\right)}=\cos\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right )-\sin\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )$$

Cosinus

Definisi cosinus adalah perbandingan sisi samping sudut terhadap sisi miringnya.

$$\begin{align*} \cos{\left(x+y\right)}&=\frac{AF}{AD}\\ \cos{\left(x+y\right)}&=\frac{AB-BF}{AD}=\frac{AB-CE}{AD}\\ \end{align*}$$

Hubungan trigonometri

$$\begin{align*} \text{untuk sisi AB}\\ \cos\left ( x \right )&=\frac{AB}{AC} \;;\;\cos\left ( y \right )=\frac{AC}{AD}\\ AB&=AC\cdot\cos\left ( x \right )\\ AB&=AD\cdot\cos\left ( y \right )\cdot\cos\left ( x \right )\\ \text{untuk sisi CE}\\ \sin\left ( x \right )&=\frac{CE}{CD} \;;\;\sin\left ( y \right )=\frac{CD}{AD}\\ CE&=CD\cdot\sin\left ( x \right )\\ CE&=AD\cdot\sin\left ( y \right )\cdot\sin\left ( x \right ) \end{align*}$$  

Substitusi ke dalam $\cos{\left(x+y\right)}$ 

$$\begin{align*} \cos{\left(x+y\right)}&=\frac{AB-CE}{AD}\\ \cos{\left(x+y\right)}&=\frac{AD\cdot\cos\left ( y \right )\cdot\cos\left ( x \right )-AD\cdot\sin\left ( y \right )\cdot\sin\left ( x \right ) }{AD}\\ \cos{\left(x+y\right)}&=\cos\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )-\sin\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right ) \end{align*}$$  

TANTANGAN, Buktikan! 

$$\cos{\left(x-y\right)}=\cos\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )+\sin\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right )$$

Tangent

Definisi tangent adalah perbandingan sisi depan sudut terhadap sisi samping sudut.

$$\begin{align*} \tan{\left(x+y\right)}&=\frac{DF}{AF}\\ \tan{\left(x+y\right)}&=\frac{DE+EF}{AB-BF}=\frac{DE+BC}{AB-CE}\\ \end{align*}$$

Atau definisi lain yaitu perbandingan nilai $\sin$ dan $\cos$ yang mempunyai makna sama.

$$\begin{align*} \tan\left ( x+y \right )&=\frac{\sin\left ( x+y \right )}{\cos\left ( x+y \right )}\\ \tan\left ( x+y \right )&=\frac{\cos\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right )+\sin\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )}{\cos\left ( x \right )\cdot\cos\left ( y \right )-\sin\left ( x \right )\cdot\sin\left ( y \right ) }\\ \end{align*}$$

pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan $\cos\left ( x \right )\cos\left ( y \right )$

$$\tan\left ( x+y \right )=\frac{\tan\left ( x \right )+\tan\left ( y \right )}{1-\tan\left ( x \right )\tan\left ( y \right )}$$

SHARE TO YOUR FRIENDS