Pembuktian Rumus Jarak Titik terhadap Garis

Halo semua apa kabar? dimana pun anda berada, semoga dalam keadaan terbaik. Nah kali ini saya akan membagikan sebuah pembuktian sederhana yaitu pembuktian rumus jarak titik terhadap garis.

Kalau seandainya anda ditanya buat apa sih lihat pembuktian-pembuktian gitu kan tinggal pakai aja rumusnya udah selesai gampang, ngapain ribet-ribet melihat pembuktian? Anda akan jawab apa?. Bagi saya pembuktian suatu rumus atau teorema itu penting, karena dengan anda melihat alur penurunannya sampai pada rumus akhir itu, anda akan dituntun melihat bagaimana seseorang dahulu mendapatkan rumus itu dan di samping itu juga anda akan mendapatkan cara berpikir logis yang akan membuat anda paham benar dengan konsep yang ada.

Balik ke topik ya, maksudnya gimana sih pembuktian titik terhadap garis itu? Jadi gini, anda bayangkan ada bidang dua dimensi dan ada sebuah garis lurus panjang tak berhingga, di tempat lain ada sebuah satu titik dimana titik tersebut ingin kita cari jarak terdekatnya ke garis tadi nah makanya dinamakan jarak titik terhadap garis.

Pada gambar kita lihat seandainya kita punya garis dan persamaan garisnya adalah

a x + b y + c = 0

$ax+by+c=0$ , mungkin kalian sedikit bingung kok bukannya

y = m x + c

$y=mx+c$ ? iya sama saja hanya bentuk itu adalah persamaan

y

$y$ secara eksplisit. Jadi kita gunakan persamaan umum garis saja.

Ada sebuah titik yang kita ketahui namakanlah titik

x_{1}

$x_1$ ,

y_{1}

$y_1$ . Lalu kita ingin mencari jarak terdekat nih dari titik itu ke titik di garis yang panjang sekali katakanlah titik di garis yang ingin dicapai yaitu

x_{2}

$x_2$ ,

y_{2}

$y_2$ . Sekarang kita gunakan logika berarti kalau jarak terdekat artinya garis yang dibentuk

x_{1}

$x_1$ ,

y_{1}

$y_1$ dan

x_{2}

$x_2$ ,

y_{2}

$y_2$ harus tegak lurus dengan persamaan garis awalnya yaitu

a x + b y + c = 0

$ax+by+c=0$ dan nantinya di akhir pasti akan kita gunakan teorema pythagoras.

Ide selanjutnya adalah menentukan gradien (kemiringan) garis putus-putus dengan cara menentukan terlebih dahulu gradien garis pertama persamaan

a x + b y + c = 0

$ax+by+c=0$ dengan begitu kita dapat mementukan gradien garis kedua dengan sifat gradien tegak lurus yaitu

m_{1} m_{2} = - 1

${m_1}{m_2}=-1$ .

Disini baru kita pakai persamaan eksplisit

y = m x + c

$y=mx+c$ dengan memisahkan berbagai variabel pada persamaan garis umum, lihat dibawah

\begin{matrix} a x + b y + c & = 0 b y & = - c - a x y & = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} \end{matrix}

$\begin{align*} ax+by+c&=0\\ by&=-c-ax\\ y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\\ \end{align*}$
Hasil persamaan eksplisit

y

$y$ sudah mirip bentuknya dengan

y = m x + c

$y=mx+c$ . Kemudian kita bisa langsung tentukan nilai

m

$m$ dimana disini kita namakan gradiem

m_{1} = - \frac{a}{b}

$m_1=-\frac{a}{b}$ . Tujuan kita sebelumnya ialah mencari gradien garis

m_{2}

$m_2$ dengan menggunakan sifat gradien tegak lurus
\begin{align*}
{m_1}{m_2}&=-1\\
-\frac{a}{b}{m_2}&=-1\\
m_2&=\frac{b}{a}\\

\end{align*}

Sekarang apa yang sudah kita dapatkan? Kita sudah punya titik

x_{1}, y_{1}

$x_1,y_1$ dan gradien

m_{2} = \frac{b}{a}

$m_2=\frac{b}{a}$ dan selanjutnya kita harus mencari persamaan garis untuk nanti kita menemukan titik potong kedua

x_{2}, y_{2}

$x_2,y_2$ . Apa yang kita gunakan guna mencari persamaan garis tersebut? Tentu saja kita pakai rumus persamaan garis diketahui titik dan gradiennya

\begin{matrix} y - y_{1} & = m_{2} (x - x_{1}) y - y_{1} & = \frac{b}{a} (x - x_{1}) \end{matrix}

$\begin{align*} y-y_1&=m_2\left(x-x_1\right)\\ y-y_1&=\frac{b}{a}\left(x-x_1\right)\\ \end{align*}$
Persamaan garis di atas adalah persamaan garis baru (garis putus-putus). Dimana kita akan mendefinisikan suatu titik yang berpotongan dengan garis awal. Kita namakan titik

x_{2}, y_{2}

$x_2,y_2$ . Titiknya dapat menempati persamaan awal dan persamaan baru (karena ia berpotongan). Persamaan baru menjadi

y_{2} - y_{1} = \frac{b}{a} (x_{2} - x_{1})

$y_2-y_1=\frac{b}{a}\left(x_2-x_1\right)$ Sedangkan pada persamaan awal

y_{2} = - \frac{a}{b} x_{2} - \frac{c}{b}

$y_2=-\frac{a}{b}x_2-\frac{c}{b}$ Kita kurangkan kedua persamaan

\begin{matrix} - y_{1} & = \frac{b}{a} x_{2} - \frac{b}{a} x_{1} + \frac{a}{b} x_{2} + \frac{c}{b} - y_{1} & = (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) x_{2} - \frac{b}{a} x_{1} + \frac{c}{b} (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) x_{2} & = \frac{b}{a} x_{1} - y_{1} - \frac{c}{b} \end{matrix}

$\begin{align*} -y_1&=\frac{b}{a}x_2-\frac{b}{a}x_1+\frac{a}{b}x_2+\frac{c}{b}\\ -y_1&=\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )x_2-\frac{b}{a}x_1+\frac{c}{b}\\ \left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )x_2&=\frac{b}{a}x_1-y_1-\frac{c}{b}\\ \end{align*}$
Kita sisihkan variabel

$x_1$ dan

$y_1$ karena titiknya kita tahu. Lalu kita cari nilai

$x_2$

$\begin{align*} x_2&=\frac{\frac{b}{a}x_1-y_1-\frac{c}{b}}{\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )}\\ x_2&=\frac{ab\left (\frac{b}{a}x_1-y_1-\frac{c}{b} \right )}{ab\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )}\\ x_2&=\frac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}\\ \end{align*}$
Nilai

$x_2$ sudah kita dapat sekarang tinggal nilai

$y_2$ yang mau dicari dengan cara mensubstitusi kembali ke persamaan garis baru.

$\begin{align*} y_2-y_1&=\frac{b}{a}\left (x_2-x_1 \right )\\ y_2&=\frac{b}{a}x_2-\frac{b}{a}x_1+y_1\\ y_2&=\frac{b}{a}\left (\frac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2} \right )-\frac{b}{a}x_1+y_1\\ y_2&=\frac{\frac{b^3}{a}x_1-b^2y_1-bc}{a^2+b^2}-\frac{b}{a}x_1+y_1\\ y_2&=\frac{\frac{b^3}{a}x_1-b^2y_1-bc-\frac{b}{a}x_1\left ( a^2+b^2 \right )+y_1\left ( a^2+b^2 \right )}{a^2+b^2}\\ y_2&=\frac{\frac{b^3}{a}x_1-b^2y_1-bc-\frac{b}{a}x_1\left ( a^2+b^2 \right )+y_1\left ( a^2+b^2 \right )}{a^2+b^2}\\ y_2&=\frac{\frac{b^3}{a}x_1-b^2y_1-bc-abx_1-\frac{b^3}{a}x_1+a^2y_1+b^2y_1}{a^2+b^2}\\ y_2&=\frac{-abx_1+a^2y_1-bc}{a^2+b^2}\\ \end{align*}$
Selanjutnya kita akan menghitung jarak terdekat dari dua titik yang sudah kita ketahui yaitu

$x_1,y_1$ dan

$x_2,y_2$ dengan menggunakan pythagoras yang sisi-sisinya merupakan selisih dari

$y_2-y_1$ dan

$x_2-x_1$ . Maka kita cari terlebih dahulu selisihnya

$\begin{align*} x_2-x_1&=\frac{b^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}-x_1\\ x_2-x_1&=\frac{b^2x_1-aby_1-ac-x_1\left (a^2+b^2 \right )}{a^2+b^2}\\ x_2-x_1&=\frac{b^2x_1-aby_1-ac-a^2x_1-b^2x_1}{a^2+b^2}\\ x_2-x_1&=\frac{-a^2x_1-aby_1-ac}{a^2+b^2}\\ x_2-x_1&=\frac{-a\left (ax_1+by_1+c \right )}{a^2+b^2}\\ \end{align*}$
Lakukan langkah yang sama untuk mencari

$y_2-y_1$

$\begin{align*} y_2-y_1&=\frac{-abx_1+a^2y_1-bc}{a^2+b^2}-y_1\\ y_2-y_1&=\frac{-abx_1+a^2y_1-bc-y_1\left (a^2+b^2 \right )}{a^2+b^2}\\ y_2-y_1&=\frac{-abx_1+a^2y_1-bc-a^2y_1-b^2y_1}{a^2+b^2}\\ y_2-y_1&=\frac{-abx_1-b^2y_1-bc}{a^2+b^2}\\ y_2-y_1&=\frac{-b\left (ax_1+by_1+c \right )}{a^2+b^2}\\ \end{align*}$
Sudah sampai disini tinggal mudah saja masukkan ke dalam rumus pythagoras

$D=\sqrt{\left ( x_2-x_1 \right )^2+\left ( y_2-y_1 \right )^2}$

$\begin{align*} D&=\sqrt{\left ( x_2-x_1 \right )^2+\left ( y_2-y_1 \right )^2}\\ D&=\sqrt{\left (\frac{-a\left (ax_1+by_1+c \right )}{a^2+b^2}\right )^2+\left (\frac{-b\left (ax_1+by_1+c \right )}{a^2+b^2} \right )^2}\\ D&=\sqrt{a^2\left (\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)^2+b^2\left (\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)^2}\\ D&=\sqrt{\left (a^2+b^2 \right )\left (\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)^2}\\ D&=\sqrt{\frac{\left (ax_1+by_1+c\right)}{a^2+b^2}^2}\\ D&=\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \end{align*}$
Karena nilai

$D$ keluar dari akar maka nilainya mutlak positif, dan jarak pasti nilainya juga positif, maka sering kali dituliskan sebagai