Prinsip Fermat pada Hukum Snellius

Sebelumnya saya sudah memposting blog yang berjudul Hukum Snellius dan Prinsip Fermat. Fermat's principle berkata bahwa jika cahaya merambat dari suatu titik ke titik lain ia harus mengambil waktu tempuh yang sesingkat mungkin tidak peduli sejauh apapun jaraknya. Dalam postingan sebelumnya  prinsip fermat bisa diterapkan pada pemantulan lalu disini kita akan coba terapkan prinsip fermat  dalam hukum snellius.

Dalam hukum snellius terdapat istilah indeks bias. Indeks bias pada medium didefinisikan sebagai perbandingan antara kecepatan cahaya dalam ruang hampa udara dengan cepat rambat cahaya pada suatu medium. Nilai indeks bias relatif artinya perbandingan indeks bias medium rapat $n_{2}$ dan indeks bias yang lebih rapat $n_{1}$. Jika cahaya tidak merambat melalui vakum atau $n_{1}\neq 1$ maka cahaya bergerak dengan kecepatan dibawah kecepatan cahaya pada ruang vakum $v_{1}<c$

Hubungan nilai indeks bias relatif dengan cepat rambat cahaya pada bidang adalah
$$\begin{align*} n_{21}=\frac{v_{1}}{v_{2}}\\ \frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} \end{align*}$$

Kita ambil sembarang titik perpotongan garis normal dan garis batas medium. Jarak horizontal $x$ dari titik $A$, sedangkan jika jarak horizontal titik $A$ ke $B$ adalah $p$, maka sisanya adalah $p-x$. Jarak vertikal titik $A$ ke garis batas medium adalah $a$ dan jarak vertikal titik $B$ ke garis  batas medium adalah $b$.

Panjang lintasan cahaya yaitu berasal dari titik $A$ menuju ke titik perpotongan lalu ke titik $B$ dapat dicari dengan menjumlahkan dua sisi miring segitiga dengan teorema pythagoras. Dapat dinyatakan sebagai
$$\begin{align*} L&=L_{1}+L_{2}\\ L&=\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}} \end{align*}$$
Kemudian jarak yang ditempuh cahaya yaitu $L$ tidak lain adalah sama dengan kecepatan cahaya pada medium rambatannya dikalikan dengan waktu tempuhnya dari titik $A$ ke titik $B$. Dalam kasus ini kita pisah yaitu pada medium $n_{1}$ kecepatan rambatnya $v_{1}$ dan pada medium $n_{2}$ kecepatan rambatnya adalah $v_{2}$.
$$\begin{align*} t_{1}=\frac{L_{1}}{v_{1}}&=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}\\ t_{2}=\frac{L_{2}}{v_{2}}&=\frac{\sqrt{\left(p-x\right)^{2}+b^{2}}}{v_{2}}\\ t_{total}&=t_{1}+t_{2}\\ t_{total}=\frac{L_{1}}{v_{1}}+\frac{L_{2}}{v_{2}}&=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{\left(p-x\right)^{2}+b^{2}}}{v_{2}} \end{align*}$$
Prinsip fermat menjelaskan bahwa cahaya akan memilih waktu tempuh yang sesingkat mungkin. Dengan menggunakan turunan kita bisa dapatkan fungsi minimum $t_{total}$ terhadap $x$ ketika turunan pertama dari fungsi itu sama dengan nol
$$\begin{align*} \frac{dt_{total}}{dx}&=0\\ \frac{1}{v_{1}}\frac{dL_{1}}{dx}+\frac{1}{v_{2}}\frac{dL_{2}}{dx}&=0\\ \frac{1}{v_{1}}\frac{dL_{1}}{dx}&=-\frac{1}{v_{2}}\frac{dL_{2}}{dx}\\ \frac{1}{v_{1}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)&=-\frac{1}{v_{2}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}}\right)\\ \frac{1}{v_{1}}\left (\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right )&=-\frac{1}{v_{2}}\left (\frac{-2\left({p-x}\right)}{2\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\right )\\ v_{2}\left (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right )&=v_{1}\left (\frac{\left({p-x}\right)}{\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\right )\\ \end{align*}$$
Dengan mengetahui bahwa $n_{21}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$ persamaan menjadi
$$\begin{align*} v_{2}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}&=n_{21}v_{2}\frac{\left({p-x}\right)}{\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\\ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}&=n_{21}\frac{\left({p-x}\right)}{\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\\ \end{align*}$$
Jika diperhatikan gambar awal kita dapat menghubungkan persamaan di atas dengan bentuk trigonometri sinus.
$$\begin{align*} \sin{i}&=n_{21}\sin{r}\\ \frac{\sin{i}}{\sin{r}}&=\frac{n_{2}}{n_{1}}\\ \end{align*}$$
Persamaan itulah yang disebut hukum snellius. Lantas jika $n_{2}>n_{1}$ dan $\sin{i}>\sin{r}$ maka pemodelan gambar awal yang mana sudut $i<r$ adalah salah. Peristiwa yang benar adalah sudut $i>r$

SHARE TO YOUR FRIENDS