Pembuktian Prinsip Fermat

Halo sob apa kabar semua semoga baik baik saja ya. Udah lama sekali saya tidak memposting blog ini tapi semoga ke depannya tetap terus melanjutkan kegiatan posting secara rutin. Ok jadi kali ini saya akan membahas topik yang sebenarnya bisa dikatakan menjadi dasar dalam sistem optika. Topik ini sebenarnya menjelaskan bagaimana sih perilaku atau gerak dari cahaya dalam melintasi suatu lintasan lurus. Pasti kamu belum terbayang seperti apakah yang dimaksud disini. Nanti kita akan bahas bersama sama

Prinsip Fermat atau Fermat's Principle atau boleh juga dibilang sebagai principle of least time ditemukan oleh matematikawan yang bernama Pierre de Fermat. Beliau menemukan prinsip ini yang menjelaskan bahwa cahaya yang sedang melintasi suatu lintasan lurus, katakanlah melintas dari titik

$A$ menuju titik

$B$ maka ia akan mengambil waktu tempuh yang sesingkat mungkin bukan panjang lintasan yang terdekat. Prinsip ini bisa juga menjelaskan tentang adanya hukum snellius. Untuk lebih jelasnya lihat postingan prinsip fermat pada hukum snellius. Prinsip ini juga bisa membuktikan bahwa jika ada sinar datang yang mengenai suatu permukaan cermin dengan sudut tertentu, maka arah sinar pantulnya mempunyai sudut yang sama dengan sudut datang tadi. Mari kita lihat

Dari gambar di atas kita dapat menganggap cahaya datang dari titik

$A$ menuju titik

$B$ dengan catatan lintasan cahaya memantul ke permukaan cermin datar. Jarak titik

$A$ dan titik

$B$ menuju ke permukaan cermin datar masing-masing adalah

$a$ dan

$b$ . Jarak horizontal titik

$A$ menuju titik

$B$ adalah

$p$ dan Jarak horizontal dari titik

$A$ menuju titik pantul adalah

$x$ . Yang terakhir sudut datang dan sudut pantul terhadap garis tegak lurus bidang permukaan cermin masing-masing adalah

$i$ dan

$r$ .

Secara logika kita dapat mengetahui bahwa panjang lintasan cahaya yaitu berasal dari titik

$A$ menuju ke titik pantul lalu ke titik

$B$ . Kita tentu dapat mencari panjang lintasan ini dengan mencari panjang sisi miring segitiga dengan teorema pythagoras. Dapat dinyatakan sebagai

$\begin{align*} S&=S_{1}+S_{2}\\ S&=\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}} \end{align*}$
Kemudian jarak yang ditempuh cahaya yaitu

$S$ tidak lain adalah sama dengan kecepatan cahaya pada medium rambatannya dikalikan dengan waktu tempuhnya dari titik

$A$ ke titik

$B$ . Dalam kasus ini kita anggap saja ia merambat di vakum yaitu dengan kecepatan cahaya

$c$ . Maka kita bisa tuliskan

$\begin{align*} ct&=S\\ ct&=\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}} \end{align*}$
Lalu kita ingin mengetahui bagaimana sih pengaruh jarak

$x$ yang berakibat ke dampak waktu tempuhnya. Maka kita bisa golongkan variabel

$t$ di ruas kiri dan

$x$ di ruas kanan

$t=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}}}{c}$
Prinsip fermat menjelaskan bahwa cahaya akan memilih waktu tempuh yang sesingkat mungkin. Dengan menggunakan turunan kita bisa dapatkan fungsi minimum

$t$ terhadap

$x$ ketika turunan pertama dari fungsi itu sama dengan nol

$\begin{align*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{c}\frac{dS}{dx}=0\\ \frac{1}{c}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{\left ( p-x \right )^{2}+b^{2}}\right)&=0\\ \frac{1}{c}\left(\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+a^{2}}}-\frac{2\left({p-x}\right)}{2\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\right)&=0\\ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}-\frac{\left({p-x}\right)}{\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}&=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}&=\frac{\left({p-x}\right)}{\sqrt{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}}\\ \frac{x^{2}}{x^{2}+a^{2}}&=\frac{\left({p-x}\right)^{2}}{\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}}\\ x^{2}\left (\left({p-x}\right)^{2}+b^{2}\right )&=\left({p-x}\right)^{2}\left (x^{2}+a^{2}\right )\\ x^{2}\left({p-x}\right)^{2}+x^{2}b^{2}&=x^{2}\left({p-x}\right)^{2}+a^{2}\left({p-x}\right)^{2}\\ x^{2}b^{2}&=a^{2}\left({p-x}\right)^{2}\\ xb&=a\left({p-x}\right)\\ xb+xa&=ap\\ x&=\frac{ap}{a+b} \end{align*}$
Kita coba kembali lihat gambar awal bahwa kita dapat menggunakan trigonometri