Pembuktian Sifat-Sifat Logaritma

Apa kabar anda? Semoga baik-baik saja. Pada topik sebelumnya sudah pernah saya bahas mengenai topik tentang sifat-sifat logaritma. Bagaimana pentingnya sifat-sifat logaritma dalam menyelesaikan suatu persoalan logaritma di matematika. Banyak sifat-sifat yang dipakai jika anda menemui suatu logaritma di persamaan anda entah itu dalam matematika ataupun dalam ilmu sains lainnya seperti di fisika dan kimia.

Kali ini saya akan membahas sebuah pembuktian dari sifat-sifat logaritma itu sendiri. Seperti yang sudah saya jelaskan sebelumnya sifat-sifat memang penting saat anda baru pertama kali berkenalan dengan logaritma ibarat anda membeli sebuah produk yang sebelumnya anda tidak tahu sama sekali cara memakainya maka sifat-sifat logaritma inilah yang menjadi user guide anda dalam memecahkan masalah logaritma. Bicara tentang pembuktian logaritma itu sendiri juga tidak lepas dengan definisi dari logaritma kita di awal bahwa logaritma merupakan kebalikan atau invers dari fungsi eksponen. Maka dalam matematika jika kita membuktikan sesuatu haruslah memakai sifat-sifat atau teorema yang sudah terbuktikan terlebih dahulu barulah kita boleh pakai. Dalam membuktikan sifat logaritma jangan menggunakan bantuan sifat-sifat logaritma yang lain kecuali jika sifat tersebut sudah dibuktikan.

Sebetulnya sifat-sifat dari logaritma ini bisa dibuktikan dengan mudah hanya dengan memasukkan angka tetapi di postingan ini untuk membuktikan beberapa sifat-sifat logaritma dengan menggunakan bantuan dari eksponen yang sudah kita buktikan sebelumnya.

SIFAT 1

$\begin{align} \log_{a} \left(xy \right )&=\log_{a} \left(x \right )+\log_{a} \left(y \right ) \end{align}$

Memisalkan

$\begin{align*} \log_{a}\left(x \right )&=b\\ \log_{a}\left(y \right )&=c\\ \end{align*}$

Ubah ke dalam bentuk eksponen, lalu kalikan keduanya

$\begin{align*} a^{b}&=x \;;\; a^{c}=y\\ a^{b+c}&=xy\\ \log_{a}\left(xy \right )&=b+c\\ \log_{a}\left(xy \right )&=\log_{a}\left(x \right )+\log_{a}\left(y \right ) \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

Dengan cara yang sama untuk SIFAT 2

$\begin{align} \log_{a}\left(\frac{x}{y} \right )=\log_{a}\left(x \right )-\log_{a}\left(y \right ) \end{align}$

Memisalkan

$\begin{align*} \log_{a}\left(x \right )=b\\ \log_{a}\left(y \right )=c\\ \end{align*}$

Ubah ke dalam bentuk eksponen, lalu bagi keduanya

$\begin{align*} a^{b}&=x \;;\; a^{c}=y\\ \frac{a^{b}}{a^{c}}&=\frac{x}{y}\\ a^{b-c}&=\frac{x}{y}\\ \log_{a}\left(\frac{x}{y} \right )&=b-c\\ \log_{a}\left(\frac{x}{y} \right )&=\log_{a}\left(x \right )-\log_{a}\left(y \right ) \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

SIFAT 3

$\begin{align} \log_{a^{n}} \left(x^{m} \right )=\frac{m}{n}\log_{a} \left(x \right )\\ \end{align}$

Memisalkan

$\log_{a^{n}} \left(x^{m} \right )=c$

Ubah ke dalam bentuk eksponen

$\begin{align*} \left(a^{n} \right)^{c}&=x^{m}\\ a^{nc}&=x^{m}\\ \left (a^{nc} \right )^\frac{1}{m}&=\left (x^{m} \right )^\frac{1}{m}\\ a^{\frac{nc}{m}}&=x\\ \log_{a}\left ( x \right )&=\frac{nc}{m}\\ \log_{a}\left ( x \right )&=\frac{nc}{m}\\ c&=\frac{m}{n}\log_{a}\left ( x \right )\\ \log_{a^{n}}\left ( x^{m} \right )&=\frac{m}{n}\log_{a}\left ( x \right ) \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

SIFAT 4

$\begin{align} \log_{a} \left(x \right )=\frac{\log_{c}\left ( x \right )}{\log_{c}\left ( b \right )} \end{align}$

Memisalkan

$\log_{a} \left(x \right )=m \Rightarrow a^{m}=x$

Ruas kanan dan kiri diberikan fungsi logaritma dengan basis bebas

$c>1$

$\begin{align*}\log_{a} \left(x \right )&=m \Rightarrow a^{m}=x\\ \log_{c}\left (a^{m} \right )&=\log_{c}\left (x \right) \\ m\log_{c}\left (a \right )&=\log_{c}\left (x \right ) \\ m&=\frac{\log_{c}\left ( x \right )}{\log_{c}\left ( a \right )}\\ \log_{a} \left(x \right )&=\frac{\log_{c}\left (x \right )}{\log_{c}\left (a \right )}\quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

SIFAT 5

$\begin{align}a^{\log_{a}\left(x \right )}=x \end{align}$

Memisalkan

$a^{\log_{a}\left(x \right )}=c \;;\; \log_{a}\left(x \right )=b$

$\begin{align*} a^{\log_{a}\left(x \right )}&=a^{b}=c\\ \log_{a}\left(c\right)&=b\\ \log_{a}\left(c\right)&=\log_{a}\left(x \right )\\ c=x&=a^{\log_{a}\left(x \right )} \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

SIFAT 6

$\begin{align} \log_{a} \left(b \right )\cdot\log_{b} \left(c \right )=\log_{a} \left(c \right ) \end{align}$

Gunakan sifat nomor 4 (anggap saja basisnya 10)

$\begin{align*} \log_{a} \left(b \right )\cdot\log_{b} \left(c \right )&=\frac{\log\left ( b \right )}{\log \left ( a \right )} \cdot \frac{\log\left ( c \right )}{\log \left ( b \right )}\\ \log_{a} \left(b \right )\cdot\log_{b} \left(c \right )&=\frac{\log\left ( c \right )}{\log \left ( a \right )}\\ \log_{a} \left(b \right )\cdot\log_{b} \left(c \right )&=\log_{a}\left ( c \right ) \quad \textbf {(TERBUKTI)} \end{align*}$

SIFAT 7

$\begin{align} \log_{a} \left(a \right )&=1 \end{align}$

Sudah terbukti karena definisi logaritma