Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi kepada anda mengenai aturan sinus dan cosinus dalam trigonometri. Pada postingan kali ini singkat saja saya ingin berbagi cerita mengenai aturan sinus cosinus ini. Aturan sinus dan cosinus ini berguna jika anda menyelesaikan permasalahan dalam lingkup bidang geometri, kalkulus, dan bidang lainnya.

Pertama kita akan bahas dahulu aturan sinus. Aturan sinus ini memiliki bentuk yang mudah dihapal dan juga bentuk yang simetri, mari anda lihat bentuk rumus aturan sinus

Aturan Sinus

Saya beri tahu dulu keterangan gambar yaitu

1. Di kiri terdapat sudut $A$
2. Di kanan terdapat sudut $B$
3. Di atas terdapat sudut $C$ 
4. Sisi di depan sudut $A$ memiliki panjang $a$
5. Sisi di depan sudut $B$ memiliki panjang $b$
6. Sisi di depan sudut $C$ memiliki panjang $c$
7. Garis tinggi tegak lurus sisi $c$ memiliki panjang $p$
8. Garis tinggi tegak lurus sisi $b$ memiliki panjang $q$

Dari gambar kita lihat dan kita tuliskan trigonometri sinus sudut $A$ dan sudut $B$ yang diketahui dari gambar
\begin{align*} \sin{A}=\frac{p}{b}\\ \sin{B}=\frac{p}{a} \end{align*}

Bagi kedua persamaan dan didapatkan

\begin{align*} \frac{\sin{A}}{\sin{B}}&=\frac{a}{b}\\ \frac{\sin{A}}{a}&=\frac{\sin{B}}{b} \cdots(1) \end{align*}
Kita lihat hubungan sinus sudut yang lain yaitu antara sudut A dan sudut C diketahui
\begin{align*} \sin{A}=\frac{q}{c}\\ \sin{C}=\frac{q}{a} \end{align*}

Bagi kedua persamaan dan didapatkan

\begin{align*} \frac{\sin{A}}{\sin{C}}&=\frac{a}{c}\\ \frac{\sin{A}}{a}&=\frac{\sin{C}}{c} \cdots(2) \end{align*}
Akhirnya kita gabungkan persamaan 1 dan persamaan 2 menjadi yang dinamakan aturan sinus
$$\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}$$

Aturan Cosinus

Untuk mendapatkan aturan cosinus kita memerlukan teorema pythagoras.

Perhatikan dahulu gambar di atas dan cermati baik-baik! di sisi bawah memiliki panjang c yang terdiri dari dua sisi yaitu $x$ dan $c-x$. Hubungan pythagoras segitiga kanan adalah $$h^{2}=a^{2}-\left(c-x\right)^{2}$$ Mari kita lihat hubungan trigonometri sisi $x$ dan $h$ dengan sisi $b$.
\begin{align*}\sin{A}&=\frac{h}{b}\rightarrow h=b\sin{A}\\ \cos{A}&=\frac{x}{b}\rightarrow x=b\cos{A}\\\end{align*}
Substitusi kembali ke persamaan pythagoras dan kita dapatkan aturan cosinus di akhir jawaban
\begin{align*} h^{2}&=a^{2}-\left(c-x\right)^{2}\\ b^{2}\sin^{2}{A}&=a^{2}-\left ( c-b\cos{A} \right )^{2}\\ b^{2}\sin^{2}{A}&=a^{2}-\left ( c^{2}-2bc\cos{A}+b^{2}\cos^{2}{A} \right )\\ b^{2}\sin^{2}{A}&=a^{2}-c^{2}+2bc\cos{A}-b^{2}\cos^{2}{A}\\ b^{2}\left (\cos^{2}{A}+\sin^{2}{A}  \right )&=a^{2}-c^{2}+2bc\cos{A}\\ b^{2}&=a^{2}-c^{2}+2bc\cos{A}\\ a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\\ \end{align*}
Inilah persamaan terakhir yang disebut aturan cosinus. Jika kita lihat aturan cosinus ini yang diketahui adalah dua sisi dan satu sudut yang diapitnya. Jadi kalau dalam segitiga terdapat tiga sudut berarti jika kita kumpulkan semua rumus aturan cosinus menjadi \begin{align*} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\\ b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B}\\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}\\ \end{align*}

SHARE TO YOUR FRIENDS