Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Integral

Bangun datar seperti lingkaran adalah bangun datar yang mempunyai banyak ilmu yang terkandung di dalamnya karena ia merupakan bangun yang sangat pokok untuk ilmu-ilmu selanjutnya atau ilmu di tingkat yang lebih tinggi maka dari itu pasti mempunyai banyak ilmu contohnya jika kita ingin mencari luas lingkaran cara untuk mendapatkan luas lingkaran pun sangat beragam tapi yang akan saya tekankan disini adalah dengan cara menggunakan integral dasar. Sebenarnya banyak metode untuk membuktikan rumus luas lingkaran salah satunya dengan integral. Mungkin bagi kamu yang sekolah SMA ke bawah mungkin belum mengerti akan integral kecuali bagi kamu yang sudah belajar. Dari sejak SD kita diberi tahu jika rumus luas lingkarang adalah

π r^{2}

$πr^2$ . Tetapi kita sampai sekarang belum tahu asal mula rumus tersebut maka dari itu saatnya kamu tahu.. Jika kamu dapat membuktikan rumus luas lingkaran tersebut maka kemungkinan kita dapat membuktikan rumus luas yang lainnya.

Disini kita telah mengetahui bahwa definisi dari integral tentu adalah mencari luas di bawah kurva kontinu terhadap peubah yang biasa kita kenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Teoremanya yaitu

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$

dimana a dan b adalah batas bawah dan batas atas dari suatu peubah/variabel

x

$x$ dan

F (x)

$F(x)$ adalah antiturunan dari fungsi

f (x)

$f(x)$ . Nah dimana integral itu biasa kita pakai dalam suatu bidang kartesian atau koordinat kartesius

(x, y)

$(x,y)$ yang mana sifatnya linier atau peubahnya bergerak lurus. Kita juga bisa memakai definisi luas dari integral yang menggunakan koordinat polar

(r, θ)

$(r,\theta)$ yaitu dengan cara kita mengubah variabel dari bidang kartesian ke bidang polar dan sebenarnya cara paling cepat membuktikan luas lingkaran adalah dengan menggunakan integral koordinat polar karena lingkaran mempunyai sudut. Namun disini kita akan pakai dari koordinat kartesius yang nanti ujung-ujungnya akan mengarah ke koordinat polar.

kita misalkan luas atas sebagai

L_{1}

$L_{1}$ dan luas bawah sebagai

L_{2}

$L_{2}$ . Karena

L_{2}

$L_{2}$ dibawah sumbu

x

$x$ maka hasil luas akan negatif maka dari itu luas total lingkaran harus

L = L_{1} - L_{2}

$L=L_{1}-L_{2}$ bukan dijumlah karena nanti akan bernilai nol. Ini juga berarti bahwa luas total lingkaran adalah 2 kali luas atas

L_{1}

$L_{1}$ yaitu

L = 2 L_{1}

$L=2L_{1}$ lalu bisa kita hitung menggunakan fungsi

y

$y$ .

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = r^{2} y & = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*} x^2+y^2&=r^2\\ y&=\pm \sqrt {r^2-x^2} \end{align*}$

Kita ambil yang yang positif karena luas atas di atas sumbu

x

$x$ , dengan menerapkan integral maka

\begin{matrix} L & = 2 L_{1} L & = 2 \int_{- r}^{r} y d x L & = 2 \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x \end{matrix}

$\begin{align*} L&=2L_{1}\\ L&=2\int_{-r}^{r} ydx\\ L&=2\int_{-r}^{r} \sqrt {r^2-x^2}dx\\ \end{align*}$

lalu kita akan menerapkan trigonometri dalam integral kali ini. karena kita bergerak dari

- r

$-r$ sampai

r

$r$ maka sudut putaran kita bergerak dari sumbu

x

$x$ negatif ke sumbu

x

$x$ positif yaitu searah jarum jam, maka

\begin{matrix} sin θ & = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} & = r sin θ cos θ & = - \frac{x}{r} \end{matrix}

$\begin{align*} \sin \theta&=\frac {y}{r}=\frac {\sqrt {r^2-x^2}}{r}\\ \sqrt {r^2-x^2}&=r\sin \theta\\ \cos \theta&=-\frac {x}{r} \end{align*}$

kita turunkan persamaan cos terhadap x menggunakan turunan implisit (implisit derivative)

\begin{matrix} \frac{d (cos θ)}{d θ} \cdot \frac{d θ}{d x} & = - \frac{1}{r} - sin θ \cdot \frac{d θ}{d x} & = - \frac{1}{r} \frac{d x}{d θ} & = r sin θ d x & = r sin θ \cdot d θ \end{matrix}

$\begin{align*} \frac {d(\cos \theta)}{d\theta}\cdot \frac {d\theta}{dx}&=-\frac{1}{r}\\ -\sin \theta \cdot \frac {d\theta}{dx}&=-\frac{1}{r}\\ \frac {dx}{d\theta}&=r\sin \theta\\ dx&=r\sin \theta \cdot d\theta\\ \end{align*}$

lalu kita masukkan ke dalam integral menjadi

\begin{matrix} L & = 2 \int_{- r}^{r} r sin (θ) d x L & = 2 \int_{0}^{π} r^{2} {sin}^{2} (θ) d θ L & = 2 r^{2} \int_{0}^{π} {sin}^{2} (θ) d θ \end{matrix}

$\begin{align*} L&=2\int_{-r}^{r} r\sin (\theta) dx\\ L&=2\int_{0}^{\pi} r^2\sin^2 (\theta) d\theta\\ L&=2r^2\int_{0}^{\pi} \sin^2 (\theta) d\theta\\ \end{align*}$

Untuk integral

s i n^{2}

$sin^2$ ini kita menggunakan rumus setengah sudut

\begin{matrix} L & = 2 r^{2} \int_{0}^{π} \frac{1 - cos (2 θ)}{2} d θ L & = r^{2} \int_{0}^{π} (1 - c o s (2 θ)) d θ L & = r^{2} {[θ - \frac{sin (2 θ)}{2}]}_{0}^{π} L & = π r^{2} (TERBUKTI) \end{matrix}

$\begin{align*} L&=2r^2\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta \\ L&=r^2\int_{0}^{\pi} \left ( 1-cos(2\theta)\right ) d\theta \\ L&=r^2\left [\theta-\frac {\sin(2\theta)}{2} \right ]_0^\pi \\ L&=\pi{r^2} \quad \textbf {(TERBUKTI)}\\ \end{align*}$

SHARE TO YOUR FRIENDS