Pembuktian Rumus Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dalam fisika

Setelah saya sebelumnya sempat menulis pembuktian rumus abc saatnya saya mau post pembuktian rumus GLBB. Bagi kamu yang mau tau pembuktian rumus abc bisa diliat DISINI. Bagi kamu yang pernah SMA mungkin pernah menemukan beberapa rumus glbb. Disini saya menyebut jarak sebagai posisi/perpindahan bukan jarak. Mengapa Perpindahan? karena jarak merupakan jumlah posisi dari awal sampai akhir yang bersifat skalar dan perpindahan merupakan selisih dari posisi yang hanya melihat keadaan awal dan akhir dan juga bersifat vektor. Sebenarnya kalau kamu tahu hubungan perpindahan, kecepatan, dan percepatan adalah salah satu aplikasi dari ilmu kalkulus dalam kehidupan nyata dan bisa dapat dibuktikan secara langsung dengan konsep kalkulus. Disini pembuktian GLBB hanya berupa logika dan bermain aljabar sederhana. Di rumus GLBB ini hanya ada 3 rumus yaitu:

Dalam belajar ilmu ilmu eksakta seperti matematika dan fisika kita sebaiknya tahu akan asal mula rumus rumus yang ada. Supaya konsep dan pemahaman materi dapat tersampaikan. Jika tidak kita hanya akan tahu dan mengahapal rumus itu bukan memahaminya dan tentu juga kita tak kan bisa mengerjakan soal soal yang tingkatannya lebih sulit jika kita tak memahami asal konsepnya.

Dalam hal ini karena GLBB umumnya percepatan $a$ bernilai konstan alias nilai $a$ tidak berubah terhadap waktu (walaupun tidak selalu konstan bisa juga dipengaruhi waktu). Maka kecepatan benda berubah-ubah terhadap waktu karena dipercepat dengan percepatan $a$. Sebelumnya harus tahu bahwa kecepatan $v$ adalah suatu besaran yang mengubah perpindahan atau posisi terhadap peubah waktu $x(t)$ (dibaca: fungsi x terhadap t), dan sedangkan kalau percepatan $a$ adalah suatu besaran yang mengubah kecepatan terhadap peubah waktu $v(t)$. Ini akan dipelajari lebih lanjut di Kalkulus kita tidak membahasnya sekarang.

1. Hubungan Kecepatan, Percepatan, dan Waktu.

Berdasarkan definisi, percepatan $a$ adalah suatu besaran yang mengubah nilai kecepatan $v$ dengan begitu seiring bertambahnya waktu $t$ maka kecepatan $v$ akan meningkat dengan demikian $v \sim t$ ($\sim$ dibaca sebanding). Jika kita menghitung dari kecepatan awal $v_0$ hingga kecepatan akhir menjadi $v$, maka perubahan besar kecepatan adalah sebesar $\Delta{v}$. Jadi  

\begin{align*}
 \Delta{v}&=at\\
v-v_0&=at\\
v&=v_0+at \quad \textbf {(TERBUKTI)}
 \end{align*}
 

2. Hubungan Kecepatan, Percepatan, dan Waktu

Kita tahu bahwa perpindahan yang kita tempuh merupakan posisi akhir dikurangi posisi awal dengan kata lain adalah selisih posisi $\Delta{x}$. Bukan hanya itu, perpindahan yang kita tempuh merupakan kecepatan rata rata dikali waktu. Dipakai kecepatan rata rata karena kecepatan berubah sebanding dengan waktu dimana kecepatan rata rata merupakan nilai tengah dari kecepatan awal dan kecepatan akhir, maka kecepatan rata rata sama dengan kecepatan awal ditambah kecepatan akhir dibagi 2.

$$\Delta{x}=\bar{v}t$$

Dimana

$$\bar{v}=\frac{v_{0}+v}{2}$$

Maka  

\begin{align*}
 x-x_{0}&=\frac{v_{0}+v}{2}t\\
x-x_{0}&=\frac{v_{0}+v_{0}+at}{2}t\\
 x&=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} \quad \textbf {(TERBUKTI)}
 \end{align*}
 Rumus ini sama dengan persamaan kuadrat dalam matematika sehingga kurva posisi terhadap waktu adalah kurva persamaan kuadrat.

3. Hubungan Kecepatan, Percepatan, dan Posisi

Berdasarkan definisi kecepatan tadi kita dapat menemukan waktu yaitu

$$t=\frac{v\, -\, v_{0}}{a}$$
Kita substitusi persamaan waktu ke dalam persamaan posisi
\begin{align*}
x-x_{0}&=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\\
x-x_{0}&=v_{0}\left (\frac{v-v_{0}}{a} \right )+\frac{1}{2}a\left (\frac{v-v_{0}}{a} \right )^{2}\\
\Delta{x}&=\frac{vv_{0}}{a}-\frac{v_{0}^2}{a}+\frac{v^2}{2a}-\frac{vv_{0}}{a}+\frac{v_{0}^2}{2a}\\
\Delta{x}&=\frac{v^2}{2a}-\frac{v_{0}^2}{2a}\\
2a\Delta{x}&=v^{2}-{v_{0}}^{2}\\
v^{2}&={v_{0}}^{2}+2a\Delta{x} \quad \textbf {(TERBUKTI)}
\end{align*}

SHARE TO YOUR FRIENDS