Bola merupakan suatu bangun ruang tiga dimensi yang mmpunyai luas permukaan terkecil dengan perbandingan volume sama dari bangun ruang lain dan memiliki unsur bangun datar berupa lingkaran. Mengapa bisa memiliki luas permukaan terkecil? karena jarak dari titik pusat bangun tersebut ke tepi di semua arah adalah sama maka dari itu luas permukaannya paling kecil dari semua bangun ruang yang lain. Ia juga memiliki volume yang mana telah kita ketahui rumusnya pasti mengandung $\pi$ karena ia memiliki unsur lingkaran di dalamnya. Jadi kali ini kita akan membahas pembuktian dari rumus volume bola yang telah kita kenal sebelumnya.
Kali ini saya mau ngasih tau gimana sih pembuktian rumus bola? dari mana sih didapatkannya rumus tersebut? sebenarnya banyak sekali metode sederhana untuk membuktikannya jika kamu belum mengerti tentang integral. Rumusnya yaitu
$$V=\frac{4}{3}\pi{r}^3$$
Sebelumnuya saya sudah pernah kasih gimana caranya membuktikan volume kerucut dengan integral bagi yang belum tahu bisa klik DISINI. Sebetulnya cara pembuktiannya sama saja dengan teknik pengintegralan pada umumnya. Bagi kamu yang belum belajar kalkulus dasar, saya saranin belajar dulu supaya mengerti akan pembuktian ini.
awal awal kita harus tau definisi volume benda putar dengan integral itu adalah
$$V=\pi\int_{a}^{b}y^2dx$$
Kita tahu bahwa persamaan lingkaran adalah
untuk $y^2$ bisa langsung didefinisikan sama dengan $r^2 - x^2$
maka
$$V=\pi\int_{-r}^{r}r^2 - x^2dx$$
Kita disini menggunakan integral trigonometri. Jadi ubah dulu bentuk integral di atas menjadi integral trigonometri. Kita bisa menggunakan hubungan sisi sisi sudut segitiga siku siku. Karena kita bergerak dari $-r$ sampai $r$ alias kita bergerak dari kiri ke kanan maka sudut disapu atau yang ditempuh berawal dari kiri ke kanan seperti pada gambar
\sin\phi&=\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r}\\
r^2-x^2&=r^2\sin^2 \phi\\
\cos \phi&=-\frac{x}{r}\\
x&=-r\cos \phi\\
dx&=r\sin \phi \cdot d\phi
\end{align*}}
Mari dilanjutkan
\begin{align*}V&=\pi\int_{-r}^{r}r^2(1-\sin^2 \phi)dx\\
V&=\pi{r}^2\int_{-r}^{r}\cos^2 \phi)dx\\
V&=\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 \phi)d\phi\\
V&=\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \phi \cos \phi)d\phi\\
V&=\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\cos{2\theta}}{2}\right) \cos \phi d\phi\\
V&=\frac{1}{2}\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \phi+\cos{2\phi}\cos \phi) d\phi\\
V&=\frac{1}{2}\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \phi+\frac{(\cos{3\phi}+\cos \phi)}{2}) d\phi\\
V&=\frac{1}{4}\pi{r}^3\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos \phi+\cos{3\phi}) d\phi\\
V&=\frac{1}{4}\pi{r}^3 \left[3\sin \phi+\frac{\sin{3\phi}}{3} \right ]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\
V&=\frac{1}{4}\pi{r}^3\left[3-\frac{1}{3}-\left(-3+\frac{1}{3} \right )\right ]\\
V&=\frac{1}{4}\pi{r}^3\left[6-\frac{2}{3}\right ]\\
V&=\frac{4}{3}\pi{r}^3 \quad \textbf {(TERBUKTI)}
\end{align*}
0 Response to "Pembuktian Rumus Volume Bola dengan Integral"
Post a Comment