Sekarang saya mau jelasin dulu nih apa sih itu pengertian dari limit. Menurut sumber yang saya kutip dari wikipedia menjelaskan
limit fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran $f(x)$ untuk setiap masukan $x$. Fungsi tersebut memiliki limit $L$ pada titik masukan $p$ bila $f(x)$ "dekat" pada $L$ ketika $x$ dekat pada $p$. Dengan kata lain, $f(x)$ menjadi semakin dekat kepada $L$ ketika $x$ juga mendekat menuju $p$. Lebih jauh lagi, bila $f$ diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada $p$, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan $L$. Bila masukan yang dekat pada $p$ ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi $f$ dikatakan tidak memiliki.
Nah pada pusing kan? Disini saya mau ngejelasin dengan cara yang sederhana.
Kita tahu kalau setiap fungsi aljabar bisa di terapkan ke grafik kan? Nah misalnya jika kita masukkan nilai $x$ maka akan menghasilkan $f(x)$. Jika kita menggunakan limit dengan nilai $x$ yang sangat mendekati $p$ maka nilai keluarannya akan sangat mendekati hasil $L$. Jika kita masukkan nilai $p$ sesungguhnya dan diterapkan operasi limit maka hasilnya adalah $L$.
Nah dari situ kamu sudah dapet gambaran dong gimana pemahaman tentang limit ini. Kalau belum paham ayoo coba dibaca ulang lagi. Maka dari situ kita bisa tau kalau limit itu sebenarnya adalah pendekatan nilai suatu fungsi aljabar pada suatu peubah $x$. Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal limit adalah
1. Substitusi langsung ---> jika hasil tentu maka selesai, jika tidak maka fungsi harus direkayasa
2. Pemfaktoran ---> biasanya fungsi berbentuk fungsi kuadrat
3. Perkalian sekawan ---> fungsi akar
Ok sekarang kita masuk aja dulu ke contoh. Cekidot:
1. Jika kita substitusi langsung menghasilkan nilai tentu maka itulah hasilnya.
$$\lim_{x\rightarrow 2}\left(x^2-2 \right )=2$$
Ada bentuk bentuk yang jika disubstitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu, berbeda dengan hasil di atas. Nah bentuk limit $f(x)$ ini harus direkayasa supaya tidak menghasilkan bentuk tak tentu lagi. Bentuk tak tentunya adalah $$\frac{0}{0}; \frac{\infty }{\infty}; 0\times \infty; 1^{\infty}; \infty-\infty; 0^{0}; \infty^{0}$$
2. Jika kita substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu seperti $\frac{0}{0}$ maka perlu direkayasa menggunakan pemfaktoran aljabar.
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left(x-2 \right )\left(x+2 \right )}{x-2}\\
&=\lim_{x\rightarrow 2}\left(x+2 \right )\\
&=4
\end{align*}
3. Contoh di bawah ini masih sama seperti nomor 2 tadi.
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-ax}{x^4-a^4}&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x\left(x-a \right )}{\left(x^2-a^2 \right )\left(x^2+a^2 \right )}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x\left(x-a \right )}{\left(x-a \right )\left(x+a \right )\left(x^2+a^2 \right )}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x}{\left(x+a \right )\left(x^2+a^2 \right )}\\
&=\frac{a}{\left(2a \right )\left(2a^2 \right )}\\
&=\frac{1}{4a^2}
\end{align*}
4. Untuk soal nomor 4 ini kamu harus rekayasa fungsi nya sehingga bentuk akar yang dibawah hilang caranya dengan mengalikan sekawan dengan tanda yang berlawanan.
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5}&=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\left(x^2-9 \right )\left(\sqrt{x^2+16}+5 \right )}{\left(\sqrt{x^2+16}-25 \right )\left(\sqrt{x^2+16}+25 \right )}\\
&=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\left(x^2-9 \right )\left(\sqrt{x^2+16}+5 \right )}{x^2+16-25}\\
&=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\left(x^2-9 \right )\left(\sqrt{x^2+16}+5 \right )}{x^2-9}\\
&=\lim_{x\rightarrow 3}\left(\sqrt{x^2+16}+5 \right )\\
&=10
\end{align*}
5. Untuk contoh yang kelima ini kamu harus menggunakan perkalian sekawan dan pemfaktoran
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-\sqrt{2x^2-a^2}}{x-a}&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-\left(2x^2-a^2\right)}{\left(x-a \right )\left(x+\sqrt{2x^2-a^2} \right )}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{-\left(x^2-a^2\right)}{\left(x-a \right )\sqrt{2x^2-a^2}}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{-\left(x-a\right)\left(x+a\right)}{\left(x-a \right )\sqrt{2x^2-a^2}}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{-\left(x+a\right)}{\sqrt{2x^2-a^2}}\\
&=-1
\end{align*}
Oh ya ada satu hal yang mau saya sampaikan kalau kamu sudah mensubtitusi nilai x atau peubahnya maka kata limit hilang, sebaliknya kalau kamu belum substitusi nilai nya maka kata limit belum hilang.
Sebagai catatan ini adalah metode yang dasar untuk menyelesaikan limit. Dalam kasus limit yang cukup sulit atau tingkat lanjut membutuhkan analisa yang lebih dalam untuk menyelesaikannya. Nah, cukup sekian dulu penjelasan dari saya. Jika masih ada yang kurang kurang silahkan ketik di kolom komentar di bawah nanti akan saya balas.
0 Response to "Limit Fungsi Aljabar"
Post a Comment