Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri dengan Limit

Hari ini di tempat saya cuaca lumayan cerah dan bersahabat. Kebetulan saya ingin membuat posting ini karena tiba-tiba lagi kepikiran saja menemukan ide untuk memposting pembuktian turunan trigonometri dan kebetulan ini lumayan banyak. Ok jadi limit ini sudah biasa kamu temukan saat SMA tapi terkadang beberapa buku hanya memberikan secara langsung turunan dari $\sin$, $\cos$, atau $\tan$ itu apa tidak memberikan asal muasal darimana bisa dapat itu. Nah disini saya akan mencoba berbagi untuk yang mau tahu gimana proses dari hasil turunan trigonometri bisa ada seperti di bawah ini. Jadi silahkan disimak secara seksama.

Kamu mungkin udah pada tau kan Definisi dari turunan itu kayak gimana? yak betul banget dengan menggunakan limit seperti gambar di bawah:

$$f'(x)=\lim_{\Delta{x}\rightarrow 0} \frac {f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$$
Untuk mencari turunan trigonometri pun juga harus menggunakan definisi di atas.

Yok mari disimak perlahan-lahan:

1. Turunan Fungsi Sinus

$$\begin{align*} f(x)&=\sin x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}  \end{align*}$$
INGAT!

$$\sin A-\sin B=2\cos\left(\frac{A+B}{2} \right )\sin\left(\frac{A-B}{2} \right )$$

Lalu kita terapkan ke dalam limit

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {2\cos\left(x+\frac{h}{2} \right )\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\cos\left(x+\frac{h}{2} \right )\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\frac{h}{2}} \\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \cos\left(x+\frac{h}{2} \right )\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\frac{h}{2}}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \cos\left(x+\frac{h}{2} \right )\\ f'(x)&=\cos x \end{align*}$$

2. Turunan Fungsi Cosinus

$$\begin{align*} f(x)&=\cos x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h} \end{align*}$$

INGAT!

$$\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2} \right )\sin\left(\frac{A-B}{2} \right )$$

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac {2\sin\left(x+\frac{h}{2} \right )\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac {\sin\left(x+\frac{h}{2} \right )\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\frac{h}{2}} \\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\sin\left(x+\frac{h}{2} \right )\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\frac{h}{2}}\\ f'(x)&=-\sin x \end{align*}$$

3. Turunan Fungsi Tangent

Untuk turunan fungsi tangen dan seterusnya sebenarnya lebih mudah mengunakan rumus pembagian turunan karena kita udah tau turunan dasarnya yaitu sin dan cos. Tapi berhubung judul kali ini menggunakan limit jadi saya kasih yang pakai limit.

$$\begin{align*} f(x)&=\tan x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\tan(x+h)-\tan x}{h} \end{align*}$$

INGAT! 

$$\tan(A\pm B)=\frac {\tan A\pm\tan B}{1\mp \tan A \tan B}$$  

 Gunakan yang bertanda $-$ yaitu $\tan(A-B)$ maka kita dapatkan $$\tan A-\tan B=\tan(A-B)\left (1+\tan A\tan B \right )$$

Lalu terapkan ke limit dengan $A=x+h$ dan $B=x$ 

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\tan(x+h)-\tan x}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\tan (A-B)(1+\tan A\cdot \tan B)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac {(\tan h)(1+\tan (x+h)\cdot \tan x)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} (1+\tan (x+h)\cdot \tan x)\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\tan h}{h}\\ f'(x)&=1+\tan^2 x\\ f'(x)&=\sec^2 x \end{align*}$$
4. Turunan Fungsi Secant

Untuk funsi secant pada prinsipnya sama aja seperti fungsi lain tapi hanya kebalikan dari cosinus.

$$\begin{align*} f(x)&=\sec x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sec (x+h)-\sec (x)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\frac {1}{\cos (x+h)}-\frac {1}{\cos (x)}}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\cos x-\cos (x+h)}{h\cos x\cos (x+h)} \end{align*}$$
INGAT!

$$\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2} \right )\sin\left(\frac{A-B}{2} \right )$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {-2\sin\left(x+\frac{h}{2} \right )\sin \left(-\frac{h}{2} \right )}{h\cos x\cos (x+h)}$$
Sudut Berelasi $\sin(-\theta)=-\sin \theta$
$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\left(\frac{h}{2} \right )}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)}{\cos (x+h)}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\\ f'(x)&=\sec x\tan x \end{align*}$$

5. Turunan Fungsi Cosecant

Sama halnya seperti turunan secant tapi fungsi cosecant dalah kebalikan dari fungsi sinus.

$$\begin{align*} f(x)&=\sec x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\csc (x+h)-\csc (x)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\frac {1}{\sin (x+h)}-\frac {1}{\sin (x)}}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin x-\sin (x+h)}{h\sin x\sin (x+h)} \end{align*}$$
INGAT!

$$\sin A-\sin B=2\cos\left(\frac{A+B}{2} \right )\sin\left(\frac{A-B}{2} \right )$$

Langsung Terapkan!

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac {\sin\left(\frac{h}{2} \right )}{\left(\frac{h}{2} \right )}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac {\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)}{\sin (x+h)}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sin x}\\  f'(x)&=-\csc x\cot x \end{align*}$$
6. Turunan Fungsi Cotangent

Untuk membuktikan fungsi cotangen ini sama saja seperti halnya dari yang di atas tadi. Jadi silahkan dipahami baik-baik.

$$\begin{align*} f(x)&=\cot x\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\cot (x+h)-\cot (x)}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\frac {cos (x+h)}{\sin (x+h)}-\frac {\cos (x)}{\sin (x)}}{h}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin x\cos (x+h)-\cos x\sin (x+h)}{h\sin x\sin (x+h)} \end{align*}$$
INGAT!

$$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin \left(x-(x+h) \right )}{h\sin x\sin (x+h)}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac {\sin h}{h\sin x\sin (x+h)}\\ f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac {\sin h}{h}\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sin x}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac {1}{\sin (x+h)}\\ f'(x)&=-\frac{1}{\sin^2 x}\\ f'(x)&=-\csc^2 x \end{align*}$$

SHARE TO YOUR FRIENDS