Pembuktian Rumus Jarak diantara Dua Garis - Tipe 2

Halo, apa kabar anda disana semoga dalam keadaan yang terbaik. Ok kali ini saya ingin berbagi kepada anda tentang bagaimana cara menemukan rumus jarak diantara dua garis. Sebagai catatan dua garis disini adalah dua garis yang harus sejajar (memiliki gradien yang sama). Kalau tidak sejajar bagaimana? Ya mereka tidak memiliki jarak satu sama lain karena toh nantinya di suatu titik mereka pasti berpotongan. Paham sampai disini?

Sebetulnya kalau kita lihat persamaan garis terdapat dua tipe yang pertama adalah persamaan garis implisit

$ax+by+c=0$ dan yang kedua persamaan garis eksplisit yang langsung terlihat berapa gradiennya

$y=mx+c$ (konstanta

$c$ -nya berbeda lho ya). Nah, maka dari itu sebetulnya terdapat dua rumus dengan bentuk berbeda namun maknanya sama untuk mencari jarak diantara dua garis. Sebelumnya sudah saya buat posting pembuktian rumua jarak diantara dua garis untuk persamaan garis tipe implisit.

Kali ini kita akan membuktikan rumus jarak diantara dua garis untuk tipe persamaan garis eksplisit

$y=mx+c$ . Dari gambar di atas diperlihatkan bahwa terdapat dua garis sejajar yang pasti memiliki gradien yang sama tetapi terdapat jarak yang memisahkan mereka (ini hanya berbeda konstantanya saja dan karena efek pergeseran garis, Lihat posting tentang pergeseran grafik) maka dua persamaan garis umum bisa ditulis seperti:

$\begin{align*} y&=mx+c_{1}\\ y&=mx+c_{2}\\ \end{align*}$

Berikutnya kita beri tiga titik pada dua garis itu. Garis pertama beri titik

$x_{1},y_{1}$ , di garis kedua beri titik

$x_{2},y_{2}$ dan

$x_{1},y_{3}$ . Di titik ketiga absisnya dinamakan

$x_{1}$ karena ia lurus vertikal dengan titik pertama. Lalu kita sambungkan ketiga titik tadi membentuk bangun segitiga siku-siku. Berikutnya adalah mencari hubungan kemiringan garis dengan sudut yang ada di segitiga. Hubungan sudutnya seperti ini bukan.

Setelah kita mengetahui sudut kemiringan dari grafik dan ditempatkan di segitiga, kita definisikan panjang sisi miring segitiga yaitu

$y_{1}-y_{3}$ (Lihat grafik!). dan jarak yang mau kita cari yaitu

$d$ .

Sekarang kita tidak tau berapa nilai panjang dari

$y_{1}-y_{3}$ karena kita mengambil titik sembarang. Caranya adalah dengan memasukkan titik tersebut ke persamaan garis lalu temukan hubungannya

$\begin{align*}y_{1}&=mx_{1}+c_{1}\\ y_{3}&=mx_{1}+c_{2}\\ \end{align*}$ Kurangkan kedua persamaan, didapat

$\begin{align*} y_{1}-y_{3}&=c_{1}-c_{2}\\ \end{align*}$ Nilai inilah yang kita substitusi ke dalam sisi miring segitiga. Kita temukan hubungan trigonometrinya (lihat lagi segitiga siku-siku di atas) yaitu

$\begin{align*} \cos{\theta}&=\frac{d}{y_{1}-y_{3}}\\ \cos{\theta}&=\frac{d}{c_{1}-c_{2}}\\ d&=\left(c_{2}-c_{1}\right)\cos{\theta}\end{align*}$ Untuk mencari nilai

$\cos{\theta}$ kita perlu menggunakan gradien kedua garis yang sama besarnya. Gradien garis tidak lain adalah nilai

$\tan{\theta}$ , maka gradien

$m=\tan{\theta}=-\frac{a}{b}$ Dengan bantuan trigonometri kita bisa dapatkan nilai

$\cos{\theta}$ dari hubungan

$\sec{\theta}$ ke

$\tan{\theta}$ . Mari kita lihat di bawah

$\begin{align*} \sec^{2}{\theta}&=1+\tan^{2}{\theta}\\ \sec{\theta}&=\sqrt{1+\tan^{2}{\theta}}\\ \sec{\theta}&=\sqrt{1+m^{2}}\\ \frac{1}{\cos{\theta}}&=\sqrt{1+m^{2}}\\ \cos{\theta}&=\frac{1}{\sqrt{1+m^{2}}} \end{align*}$ Substitusi ke persamaan jarak

$d$ yang ada sebelumnya

$\begin{align*} d&=\left(c_{1}-c_{2}\right)\cos{\theta}\\ d&=\left(c_{1}-c_{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}\\ d&=\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)}{\sqrt{1+m^{2}}}\\ \end{align*}$ Karena garis yang kita beri label pertama dan kedua itu relatif dan jarak itu tidak mungkin negatif maka nilai

$d$ harus diberi tanda mutlak dan inilah yang dinamakan rumus jarak dua garis