Pembuktian Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga (Segitiga Dalam Lingkaran)

Saya akan melanjutkan postingan sebelumnya, kalau sebelumnya sudah dibahas mengenai jari-jari lingkaran dalam segitiga, sekarang akan kita bahas jari-jari lingkaran luar segitiga. Pada penurunan kali ini juga sangat singkat yang hanya mengandalkan kemampuan analisa kesebangunan. Kesebangunan seperti apa nanti kita lihat.

Sebelum masuk ke dalam penurunannya kita perhatikan gambar di atas terdapat segitiga yang titik-titik sudutnya berada di busur lingkaran dan kita akan mencari jari-jari lingkaran itu. Sekarang, bagaimana jika saya tambahkan garis-garis bantu sedemikian sehingga terlihat seperti ini.

Gambar di atas ditambahkan garis-garis

A E

$AE$ ,

C D

$CD$ , dan

C E

$CE$ . Alasannya kenapa ditambahkan garis lagi? Nanti anda bisa temukan jawabannya. Keterangan huruf-huruf di atas adalah huruf

A

$A$ ,

B

$B$ ,

C

$C$ adalah titik sudut segitiga. Huruf

a

$a$ ,

b

$b$ ,

c

$c$ adalah sisi segitiga dalam lingkaran. Panjang

C E

$CE$ adalah diameter lingkaran alias

2 r

$2r$ dan

C D

$CD$ adalah garis tinggi yang tegak lurus

A B

$AB$ .

Mari kita terapkan prinsip kesebangunan. Kesebangunan ialah dimana dua bangun dikatakan sebangun jika memiliki perbandingan yang sama, jadi mudahnya seperti ini jika saya punya persegi panjang pasti mempunyai panjang dan lebar yang berbeda, lalu saya buat perbandingan panjang per lebarnya katakanlah a, persegi panjang yang lain saya ukur mempunyai perbandingan panjang dan lebar yang sama juga yaitu a, maka dua bangun ini dikatakan sebangun.

Perhatikan gambar di atas! bangun

Δ B C D

$\Delta BCD$ sebangun dengan

Δ A C E

$\Delta ACE$ . Mengapa sudut

A

$A$ siku-siku? Karena sudut yang menghadap diameter pasti

90^{\circ}

$90^{\circ}$ . Maka menurut kesebangunan dapat kita tuliskan sebagai

$\begin{align*} \frac{AC}{CE}&=\frac{CD}{BC}\\ AC\times BC&=CE\times CD\\ AC\times BC&=2r\times CD\\ 2r&=\frac{AC\times BC}{CD}\\ r&=\frac{AC\times BC}{2CD} \end{align*}$

sisi

$AC$ adalah

$b$ , sisi

$BC$ adalah

$a$ , dan luas segitiga adalah

$L_{\Delta}=\frac{1}{2}c\times{CD}$ maka

$CD=\frac{2L_{\Delta}}{c}$ . Substitusi itu semua

$\begin{align*} r&=\frac{AC\times BC}{2\times{CD}}\\ r&=\frac{ab}{2\times\left (\frac{2L_{\Delta}}{c} \right )}\\ r&=\frac{abc}{4L_{\Delta}} \end{align*}$

SHARE TO YOUR FRIENDS